【空间点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到平面的距离是一个常见的问题，广泛应用于数学、物理、工程和计算机图形学等领域。掌握这一公式的推导与应用，有助于更深入地理解空间几何关系。

一、公式总结

设空间中一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，以及一个平面 $ \pi: Ax + By + Cz + D = 0 $，则点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 可以通过以下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中：

- $ A, B, C $ 是平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $

- $ D $ 是平面方程中的常数项

- 分子表示点到平面的代数距离（带绝对值）

- 分母是法向量的模长，用于归一化距离

二、关键要点总结

三、示例说明

假设点 $ P(1, 2, 3) $，平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $，求点 $ P $ 到该平面的距离。

步骤如下：

1. 代入点坐标到公式分子部分：

$$

2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 - 5 = 2 - 6 + 18 - 5 = 9 = 9

$$

2. 计算分母：

$$

\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7

$$

3. 求得距离：

$$

d = \frac{9}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

四、注意事项

- 若平面方程不是标准形式（如未整理为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $），需先进行整理。

- 当法向量的模为 1 时，即 $ A^2 + B^2 + C^2 = 1 $，公式可简化为 $ d = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D $。

- 如果点位于平面上，则距离为 0；如果点在平面一侧，则距离为正；若在另一侧，符号相反但绝对值相同。

五、总结

空间点到平面的距离公式是三维几何中的重要工具，它结合了向量运算与代数表达，能够快速准确地求出点与平面之间的最短距离。掌握其原理与应用，有助于解决实际问题，并为进一步学习空间解析几何打下坚实基础。