【概率论与数理统计公式】在概率论与数理统计的学习过程中，掌握各类基本公式是理解理论、解决实际问题的关键。以下是对概率论与数理统计中常用公式的总结，便于查阅和记忆。
一、概率论基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 概率加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件至少发生一个的概率 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ | 在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A | B_i) $ | 当事件A的发生依赖于多个互斥事件时使用 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A | B_j)} $ | 用于在已知结果A的情况下，反推各原因B_i的概率 |
二、随机变量及其分布
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 期望（数学期望） | $ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) $ 或 $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | 表示随机变量的平均值 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] $ | 表示随机变量与其期望之间的偏离程度 |
| 协方差 | $ Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个随机变量之间的线性关系 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $ | 取值范围为[-1, 1]，衡量相关性强弱 |
三、常见分布函数
| 分布类型 | 概率质量函数/密度函数 | 期望 | 方差 |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
四、统计推断相关公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 置信区间（正态总体均值） | $ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 用于估计总体均值的置信区间 |
| 假设检验（Z检验） | $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ | 判断样本均值是否显著不同于假设均值 |
| 样本方差 | $ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 用于估计总体方差 |
| 卡方检验统计量 | $ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $ | 用于检验观测频数与理论频数之间的差异 |
五、其他重要公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 大数定律（辛钦定理） | $ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to E(X) $ | 随机变量序列的平均趋于期望值 |
| 中心极限定理 | $ \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \to N(0,1) $ | 大样本下，样本均值近似服从正态分布 |
| 极大似然估计 | $ \hat{\theta} = \arg\max_{\theta} L(\theta) $ | 通过最大化似然函数来估计参数 |
以上内容涵盖了概率论与数理统计中的主要公式，适用于考试复习、论文写作或实际问题分析。掌握这些公式有助于深入理解统计学的基本原理，并提升数据分析能力。
