【三角函数公式表】在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对三角函数性质的理解。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | sinθ = a/c |
| 余弦（cos） | cosθ = b/c |
| 正切（tan） | tanθ = a/b |
| 余切（cot） | cotθ = b/a |
| 正割（sec） | secθ = c/b |
| 余割（csc） | cscθ = c/a |
二、常用三角恒等式
以下是一些常用的三角恒等式，适用于各种角度和计算场景：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 余切与正切关系 | cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余弦关系 | secθ = 1 / cosθ |
| 余割与正弦关系 | cscθ = 1 / sinθ |
| 倒数关系 | tanθ · cotθ = 1 |
| 平方关系 | 1 + tan²θ = sec²θ |
| 平方关系 | 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
当角度为π/2或π的倍数时，三角函数值会发生变化，以下是常见诱导公式：
| 角度变换 | 三角函数值变化 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
| tan(2π - θ) | -tanθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB |
| 正弦差角公式 | sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB |
| 余弦和角公式 | cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB |
| 余弦差角公式 | cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB |
| 正切和角公式 | tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB) |
| 正切差角公式 | tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB) |
五、倍角与半角公式
用于计算角度的两倍或一半的三角函数值：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = 2cos²θ - 1 |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
六、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式转化为和差形式，或者相反：
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差（正弦） | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| 积化和差（余弦） | cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| 积化和差（正弦） | sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| 和差化积（正弦） | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| 和差化积（余弦） | cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| 和差化积（正弦） | sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| 和差化积（余弦） | cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过以上整理，我们可以更系统地掌握三角函数的相关公式。这些公式不仅是考试中的高频考点，也是实际应用中不可或缺的工具。建议在学习过程中结合图形理解，并通过练习不断巩固记忆。
