【三角函数公式】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它主要研究角度与边长之间的关系，常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 符号 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ | a / c |
| 余弦 | cosθ | b / c |
| 正切 | tanθ | a / b = sinθ / cosθ |
| 余切 | cotθ | b / a = cosθ / sinθ |
| 正割 | secθ | c / b = 1 / cosθ |
| 余割 | cscθ | c / a = 1 / sinθ |
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = 1 / tanθ |
| 正割与余割关系 | secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
| 倒数关系 | tanθ × cotθ = 1；secθ × cosθ = 1；cscθ × sinθ = 1 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 对应的三角函数值 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
| tan(2π - θ) | -tanθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
通过以上公式，可以更方便地进行三角函数的计算与变换。在实际应用中，这些公式常用于解决几何问题、波动分析、信号处理等领域。掌握这些基础公式是进一步学习高等数学和相关应用学科的重要前提。
