【三角函数公式的介绍】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。它主要研究角与边之间的关系，常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等。为了更好地理解和应用这些公式，以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设角为θ，其对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数名称 | 定义式 | 常见符号 |
| 正弦 | sinθ = 对边 / 斜边 | sin |
| 余弦 | cosθ = 邻边 / 斜边 | cos |
| 正切 | tanθ = 对边 / 邻边 | tan |
| 余切 | cotθ = 邻边 / 对边 | cot |
| 正割 | secθ = 斜边 / 邻边 | sec |
| 余割 | cscθ = 斜边 / 对边 | csc |
二、三角函数的基本恒等式
| 恒等式名称 | 公式表达式 |
| 平方恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余割关系 | secθ = 1 / cosθ, cscθ = 1 / sinθ |
| 倒数关系 | tanθ · cotθ = 1, secθ · cosθ = 1, cscθ · sinθ = 1 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 三角函数值变化规律 |
| θ + 2π 或 θ + 360° | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ |
| π/2 + θ | sin(π/2 + θ) = cosθ, cos(π/2 + θ) = -sinθ |
四、和差角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和角公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和角公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差公式 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积公式 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过以上总结，可以看出三角函数公式不仅种类繁多，而且相互之间具有紧密的联系。掌握这些公式有助于解决各种实际问题，如测量高度、计算周期性现象等。在学习过程中，建议结合图形理解公式含义，同时多做练习题以加深记忆和应用能力。
