【三角函数的公式有哪几种】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式对于理解其性质和应用至关重要。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设角θ为一个锐角，则三角函数的定义如下：
| 函数名称 | 符号 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ | 对边 / 斜边 |
| 余弦 | cosθ | 邻边 / 斜边 |
| 正切 | tanθ | 对边 / 邻边 |
| 余切 | cotθ | 邻边 / 对边 |
| 正割 | secθ | 斜边 / 邻边 |
| 余割 | cscθ | 斜边 / 对边 |
二、三角恒等式
三角恒等式是三角函数之间相互转换的重要公式，常用于简化计算和求解问题。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余割关系 | secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
| 倒数关系 | tanθ = 1 / cotθ；secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
三、诱导公式（角度转换）
诱导公式用于将任意角θ转化为0°～90°之间的角，便于计算。
| 角度变换 | 公式表达式 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| tan(π/2 - θ) | cotθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
| tan(-θ) | -tanθ |
四、和差角公式
用于计算两个角之和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算角的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ 或 2cos²θ - 1 或 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算角的一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] 或 (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、积化和差与和差化积公式
这些公式用于将乘积形式的三角函数转化为和差形式，反之亦然。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
总结
三角函数的公式种类繁多，涵盖了基本定义、恒等式、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式以及积化和差与和差化积公式等多个方面。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，也能加深对三角函数本质的理解。通过不断练习和应用，可以更灵活地运用这些公式解决实际问题。
