【哪个函数的导数是arctanx】在微积分的学习中，我们经常需要解决“已知一个函数的导数，求原函数”的问题。今天我们要探讨的是：哪个函数的导数是 arctanx？
这个问题看似简单，但背后涉及到积分运算和反三角函数的性质。通过分析与计算，我们可以找到符合条件的原函数。
一、问题解析
我们知道，arctanx 是一个常见的反三角函数，其导数为：
$$
\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
$$
但我们现在的问题是相反的：已知一个函数的导数是 arctanx，那么这个函数是什么？
换句话说，我们需要求：
$$
\int \arctan x \, dx
$$
二、求解过程
为了求解 $\int \arctan x \, dx$，我们可以使用分部积分法。设：
- $u = \arctan x$
- $dv = dx$
则：
- $du = \frac{1}{1 + x^2} dx$
- $v = x$
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来，我们计算 $\int \frac{x}{1 + x^2} dx$。令 $w = 1 + x^2$，则 $dw = 2x dx$，即：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} \ln
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
三、总结
通过上述推导，我们得出：
函数 $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2)$ 的导数是 arctanx。
以下是关键信息的总结表格：
| 问题 | 答案 |
| 哪个函数的导数是 arctanx？ | $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$ |
| 积分表达式 | $\int \arctan x \, dx$ |
| 使用方法 | 分部积分法 |
| 关键步骤 | 设 $u = \arctan x$，$dv = dx$，再进行换元积分 |
| 最终结果 | $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$ |
四、结语
在微积分中，理解“导数与原函数”的关系非常重要。通过对 arctanx 的积分求解，我们不仅掌握了分部积分的应用，也加深了对反三角函数及其相关函数的理解。希望这篇文章能帮助你更好地掌握这一知识点。
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