【求等比数列的求和公式】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。对于等比数列的求和问题，掌握正确的公式是关键。本文将总结等比数列的求和公式，并以表格形式清晰展示。

一、等比数列的基本概念

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列称为等比数列。

- 通项公式：

$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $

其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。

二、等比数列的求和公式

等比数列的求和分为两种情况：有限项求和 和 无限项求和（当 r < 1 时）。

1. 有限项求和公式

若等比数列有 $ n $ 项，首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则前 $ n $ 项的和为：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

或等价地：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1)

$$

2. 无限项求和公式（当 r < 1 时）

当公比 $ r < 1 $ 时，等比数列的无限项和收敛，公式为：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、总结对比表

四、示例说明

例1：求等比数列 3, 6, 12, 24, 48 的前5项和。

- 首项 $ a_1 = 3 $

- 公比 $ r = 2 $

- 项数 $ n = 5 $

$$

S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93

$$

例2：求等比数列 1, 0.5, 0.25, 0.125, ... 的无限项和。

- 首项 $ a_1 = 1 $

- 公比 $ r = 0.5 $

$$

S = \frac{1}{1 - 0.5} = 2

$$

五、注意事项

- 当公比 $ r = 1 $ 时，等比数列为常数列，此时求和公式不适用，应直接计算 $ S_n = a_1 \cdot n $。

- 在使用无限项求和公式时，必须确保公比的绝对值小于1，否则级数发散，无法求和。

通过以上内容，可以清晰掌握等比数列的求和方法及其适用条件，帮助在实际问题中灵活运用。