【数学上什么是极值】在数学中，极值是指函数在其定义域内某个点处取得的最大值或最小值。极值分为极大值和极小值两种类型，它们是研究函数性质、优化问题以及实际应用中的重要概念。
极值通常出现在函数的临界点或端点处。为了找到极值，通常需要对函数进行求导，并分析导数的变化情况。
一、极值的基本概念
| 概念 | 定义 |
| 极大值 | 若函数在某一点x₀的附近所有点的函数值都小于等于f(x₀)，则称f(x₀)为极大值。 |
| 极小值 | 若函数在某一点x₀的附近所有点的函数值都大于等于f(x₀)，则称f(x₀)为极小值。 |
| 极值点 | 函数取得极大值或极小值的点称为极值点。 |
| 临界点 | 函数的导数为0或不存在的点称为临界点。极值点通常出现在临界点处。 |
| 端点 | 在闭区间上的函数，其端点也可能成为极值点。 |
二、极值的判定方法
| 方法 | 说明 |
| 一阶导数法 | 通过分析导数的符号变化来判断极值是否存在。若导数由正变负，则为极大值；由负变正，则为极小值。 |
| 二阶导数法 | 若在临界点处，二阶导数大于0，则为极小值；小于0，则为极大值；等于0时无法判断。 |
| 图像观察法 | 通过绘制函数图像，直观判断极值点的位置。 |
三、极值的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 最优化问题 | 如生产成本最小化、利润最大化等，常通过寻找极值来解决。 |
| 物理学 | 如能量最小化问题、运动轨迹分析等。 |
| 经济学 | 如供需平衡点、价格最优策略等。 |
| 工程设计 | 如结构强度优化、资源分配等问题。 |
四、极值与最值的区别
| 项目 | 极值 | 最值 |
| 范围 | 局部范围内的最大/最小值 | 整个定义域内的最大/最小值 |
| 存在性 | 可能存在多个 | 通常只有一个（若存在） |
| 判断方式 | 通过导数或图像分析 | 需比较所有极值和端点的函数值 |
总结
极值是函数在局部范围内取得的最大值或最小值，常用于分析函数的性质和实际问题的优化。理解极值的概念及判定方法，有助于在数学、物理、经济等多个领域中进行有效的分析和决策。
