【导数公式表】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常见的导数公式，有助于快速求解函数的导数，提高解题效率。以下是一些常用的导数公式总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数的四则运算法则
| 运算类型 | 公式 |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
三、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
四、高阶导数简要说明
对于某些函数，可以求出其二阶、三阶甚至更高阶的导数。例如：
- $ f(x) = x^3 $，则：
- 一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 $
- 二阶导数：$ f''(x) = 6x $
- 三阶导数：$ f'''(x) = 6 $
五、小结
导数是微积分中的基础工具，掌握常见函数的导数公式以及导数的运算规则，能够帮助我们更高效地解决实际问题。无论是数学分析还是物理、工程等应用领域，导数都具有广泛的应用价值。建议在学习过程中多加练习，灵活运用这些公式。
通过以上内容，希望你能对导数有更清晰的理解，并能熟练应用于各类题目中。
