在概率论与数理统计中，超几何分布是一种重要的离散型概率分布。它通常用于描述从有限总体中不放回抽样时，某种特定事件发生的次数的概率分布。例如，在一个装有红球和白球的袋子中随机抽取若干个球，且每次抽取后不再放回的情况下，红球出现的次数就服从超几何分布。

超几何分布的基本概念

假设我们有一个总共有N个元素的集合，其中M个元素属于某一类（比如红色），剩下的N-M个元素不属于该类。现在从这个集合中无放回地抽取n个元素，定义随机变量X表示抽到的属于该类的元素数量，则X服从超几何分布。

其概率质量函数为：

\[ P(X=k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k=0,1,\ldots,\min(n,M) \]

期望值的推导

对于超几何分布，其期望值可以通过以下公式计算得出：

\[ E(X) = n \cdot \frac{M}{N} \]

这一结果可以直观理解为：每次抽样的成功概率为\( \frac{M}{N} \)，因此经过n次抽样后预期的成功次数就是上述表达式。

方差的推导

超几何分布的方差公式为：

\[ Var(X) = n \cdot \frac{M}{N} \cdot \left(1 - \frac{M}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1} \]

这里的额外因子\( \frac{N-n}{N-1} \)反映了由于不放回抽样导致的样本间相关性的影响。

实际应用示例

假设一家公司有100名员工，其中有30人是技术人员。如果随机挑选5名员工参加培训会议，那么选出的技术人员人数X服从超几何分布。根据上面给出的公式，我们可以计算出X的期望值和方差分别为6和4.29（四舍五入到两位小数）。

通过以上分析可以看出，尽管超几何分布在实际问题中有广泛的应用场景，但其数学性质相对复杂，尤其是方差部分包含了多个参数相互作用的因素。因此，在处理具体问题时需要仔细考虑所有相关条件，并正确应用相应的公式进行计算。