【微分怎么算】微分是微积分中的一个重要概念，主要用于研究函数在某一点处的变化率。它是数学中分析函数性质、求极值、解决物理和工程问题的重要工具。本文将简要总结微分的基本概念与计算方法，并通过表格形式清晰展示常见函数的微分公式。
一、微分的基本概念
微分（Derivative）表示一个函数在某一点处的瞬时变化率，即函数图像在该点的切线斜率。如果函数 $ y = f(x) $ 在某点 $ x $ 处可导，则其导数记作 $ f'(x) $ 或 $ \frac{dy}{dx} $，表示为：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
微分的核心思想是“局部线性化”，即用直线近似曲线，从而更容易分析函数的行为。
二、常见函数的微分公式
以下是一些基本初等函数的导数公式，便于快速查阅和应用：
| 函数表达式 | 导数（微分） |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n 为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
三、微分的计算步骤
1. 确定函数形式：明确所求函数的表达式。
2. 选择合适的求导法则：
- 基本导数公式
- 求导法则（如乘积法则、商法则、链式法则）
3. 代入计算：根据规则逐步求出导数。
4. 简化结果：对导数进行整理，使其更易理解或使用。
四、示例解析
例1：求 $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 $ 的导数。
解：
$$
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
$$
例2：求 $ f(x) = \sin(2x) $ 的导数。
解：
$$
f'(x) = 2\cos(2x)
$$
五、总结
微分是研究函数变化规律的重要工具，掌握常见函数的导数公式和求导方法，能够帮助我们更高效地解决实际问题。通过表格形式可以直观地了解各类函数的微分方式，便于记忆和应用。
希望本文能帮助你更好地理解“微分怎么算”这一问题。
