【判断函数单调性该怎么做】在数学中，函数的单调性是研究函数变化趋势的重要性质之一。判断一个函数是否单调递增或单调递减，有助于我们理解其图像的变化方向，进而用于极值分析、不等式求解等问题。本文将总结判断函数单调性的基本方法，并通过表格形式清晰展示步骤与注意事项。
一、判断函数单调性的基本思路
1. 定义法：根据函数在区间上的定义，比较任意两个点的函数值大小。
2. 导数法：利用导数的符号来判断函数的单调性，这是最常用的方法。
3. 图像法：观察函数图像的上升或下降趋势。
其中，导数法是最为高效和准确的方式，适用于大多数可导函数。
二、判断函数单调性的步骤（以导数法为例）
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定函数的定义域 |
| 2 | 求出函数的一阶导数 f’(x) |
| 3 | 解不等式 f’(x) > 0 和 f’(x) < 0 |
| 4 | 根据导数的符号确定函数的单调区间 |
| 5 | 注意临界点（f’(x)=0 或不存在的点）对单调性的影响 |
三、常见情况分析
| 情况 | 判断结果 |
| f’(x) > 0 在区间 I 上恒成立 | 函数在 I 上单调递增 |
| f’(x) < 0 在区间 I 上恒成立 | 函数在 I 上单调递减 |
| f’(x) = 0 在某些点上 | 需要进一步分析这些点是否为极值点或拐点 |
| f’(x) 在某些点不存在 | 需要检查这些点是否影响单调性，通常需分段讨论 |
四、注意事项
- 导数存在是判断单调性的前提条件；
- 若函数在某一点不可导，需结合左右极限进行分析；
- 单调性是局部性质，不能仅凭某一点的导数值下结论；
- 对于复合函数或分段函数，应分别分析各部分的单调性。
五、实例说明
例：判断函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调性
1. 定义域为 $ (-\infty, +\infty) $
2. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
3. 解不等式：
- $ f'(x) > 0 \Rightarrow x^2 > 1 \Rightarrow x < -1 $ 或 $ x > 1 $
- $ f'(x) < 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow -1 < x < 1 $
4. 结论：
- 在 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上单调递增
- 在 $ (-1, 1) $ 上单调递减
六、总结
判断函数的单调性，核心在于分析其导数的符号变化。掌握这一方法后，可以快速判断函数在不同区间的增减趋势。对于复杂函数，建议结合图像辅助分析，并注意特殊点（如导数不存在或为零的点）对单调性的影响。
附表：判断函数单调性的关键步骤
| 步骤 | 关键点 |
| 1 | 确定定义域 |
| 2 | 求导 |
| 3 | 分析导数符号 |
| 4 | 划分单调区间 |
| 5 | 处理特殊点 |
通过以上方法和步骤，可以系统地判断函数的单调性，提升数学分析能力。
