【复变函数与积分变换公式汇总】复变函数与积分变换是数学中重要的工具，广泛应用于物理、工程、信号处理等领域。为了便于学习和查阅，以下是对复变函数与积分变换中常用公式的总结，以文字说明加表格的形式呈现。

一、复变函数基础

1. 复数的基本概念

- 复数形式：$ z = x + iy $，其中 $ x, y \in \mathbb{R} $，$ i^2 = -1 $。

- 模：$ z = \sqrt{x^2 + y^2} $

- 幅角：$ \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $（主值范围为 $ (-\pi, \pi] $）

- 共轭复数：$ \overline{z} = x - iy $

2. 复变函数的导数

- 若 $ f(z) $ 在点 $ z_0 $ 处可导，则满足柯西-黎曼方程：

$$

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

$$

其中 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $

3. 解析函数

若函数在某区域内的每一点都可导，则称为解析函数（全纯函数）。

二、复积分

1. 积分路径

- 沿曲线 $ C $ 的复积分定义为：

$$

\int_C f(z) \, dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) \, dt

$$

2. 柯西积分定理

若 $ f(z) $ 在单连通区域 $ D $ 内解析，且 $ C $ 是 $ D $ 内的闭合曲线，则：

$$

\oint_C f(z) \, dz = 0

$$

3. 柯西积分公式

若 $ f(z) $ 在区域 $ D $ 内解析，$ z_0 $ 在 $ D $ 内，则：

$$

f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz

$$

三、级数展开

1. 泰勒级数

若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析，则：

$$

f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n

$$

2. 洛朗级数

若 $ f(z) $ 在圆环域 $ r < z - z_0 < R $ 内解析，则：

$$

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n

$$

其中：

$$

a_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz

$$

四、留数理论

1. 留数定义

若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有孤立奇点，且洛朗级数为：

$$

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n

$$

则 $ \text{Res}_{z=z_0} f(z) = a_{-1} $

2. 留数定理

若 $ f(z) $ 在闭合曲线 $ C $ 内除有限个奇点外解析，则：

$$

\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}_{z=z_k} f(z)

$$

五、积分变换

1. 傅里叶变换

设 $ f(t) $ 是实函数，则傅里叶变换为：

$$

F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt

$$

逆变换为：

$$

f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega

$$

2. 拉普拉斯变换

设 $ f(t) $ 在 $ t \geq 0 $ 上定义，则拉普拉斯变换为：

$$

F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt

$$

逆变换为：

$$

f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s) e^{st} \, ds

$$

3. Z 变换

对于离散时间信号 $ x[n] $，Z 变换为：

$$

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

$$

表格：复变函数与积分变换常用公式汇总

通过以上内容的整理，可以系统地掌握复变函数与积分变换中的关键公式与应用方法，有助于进一步的学习与实践。