【正态分布标准式】正态分布是统计学中最重要的一种连续概率分布，广泛应用于自然科学、社会科学、工程等领域。其特点是数据围绕平均值对称分布，呈现出钟形曲线的特征。正态分布的标准形式（即标准正态分布）是所有正态分布的基础，具有均值为0、标准差为1的特性。
在实际应用中，我们通常将一般的正态分布通过标准化转换为标准正态分布，以便于计算和比较。标准正态分布的数学表达式如下：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
其中，$ x $ 是随机变量，$ \pi $ 是圆周率，$ e $ 是自然对数的底。
正态分布标准式的总结
| 项目 | 内容 |
| 分布名称 | 正态分布标准式（标准正态分布） |
| 数学表达式 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} $ |
| 均值（μ） | 0 |
| 方差（σ²） | 1 |
| 标准差（σ） | 1 |
| 概率密度函数 | 钟形曲线，对称于 y 轴 |
| 应用领域 | 统计分析、质量控制、金融建模等 |
| 转换方法 | 通过 Z 变换将一般正态分布转化为标准正态分布：$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ |
实际意义与特点
- 对称性：标准正态分布关于 x=0 对称，意味着 P(Z < a) = P(Z > -a)。
- 68-95-99.7 规则：约 68% 的数据落在 μ ± σ 范围内，约 95% 落在 μ ± 2σ，约 99.7% 落在 μ ± 3σ。
- 标准化作用：任何正态分布都可以通过标准化转换为标准正态分布，便于统一计算和比较。
通过掌握正态分布标准式，可以更有效地进行数据分析和统计推断，是理解和应用统计学的重要基础。
