【频数的样本方差公式】在统计学中，样本方差是衡量一组数据与其平均值之间差异程度的重要指标。当数据以频数形式出现时，即每个数值出现的次数不同，计算样本方差的方式也有所调整。本文将对“频数的样本方差公式”进行总结，并通过表格形式清晰展示其计算步骤。
一、基本概念
- 频数：某一数值在数据集中出现的次数。
- 样本方差：用于衡量样本数据与样本均值之间的偏离程度，反映数据的离散性。
- 加权平均：在频数分布中，每个数据点的权重为其出现的次数。
二、频数的样本方差公式
对于一组具有频数的数据，设：
- $ x_i $：第 $ i $ 个不同的数据值
- $ f_i $：对应 $ x_i $ 的频数（即出现次数）
- $ n = \sum f_i $：总样本容量
则样本方差 $ s^2 $ 的计算公式为：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ \bar{x} $ 是样本均值，计算方式为：
$$
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i}
$$
三、计算步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 收集所有不同的数据值 $ x_i $ 及其对应的频数 $ f_i $ |
| 2 | 计算样本总容量 $ n = \sum f_i $ |
| 3 | 计算样本均值 $ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{n} $ |
| 4 | 对每个 $ x_i $，计算 $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 5 | 将每个 $ (x_i - \bar{x})^2 $ 乘以其对应的频数 $ f_i $ |
| 6 | 将所有 $ f_i (x_i - \bar{x})^2 $ 相加，得到分子部分 |
| 7 | 最后除以 $ n - 1 $，得到样本方差 $ s^2 $ |
四、示例表格
| 数据值 $ x_i $ | 频数 $ f_i $ | $ x_i \times f_i $ | $ x_i - \bar{x} $ | $ (x_i - \bar{x})^2 $ | $ f_i \times (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 1 | 2 | 2 | -2.5 | 6.25 | 12.5 |
| 2 | 3 | 6 | -1.5 | 2.25 | 6.75 |
| 3 | 4 | 12 | -0.5 | 0.25 | 1.0 |
| 4 | 1 | 4 | 0.5 | 0.25 | 0.25 |
| 5 | 2 | 10 | 1.5 | 2.25 | 4.5 |
| 合计 | 12 | 34 | 25 |
- 样本均值 $ \bar{x} = \frac{34}{12} = 2.83 $
- 样本方差 $ s^2 = \frac{25}{12 - 1} = \frac{25}{11} \approx 2.27 $
五、总结
频数的样本方差公式适用于处理分组数据或频数分布表的情况。通过引入频数作为权重，可以更准确地反映数据的波动情况。在实际应用中，这一方法广泛用于市场调研、教育评估、质量控制等领域，帮助研究者更好地理解数据的分布特征。
通过以上表格和公式，可以系统地计算出频数数据的样本方差，为后续数据分析提供基础支持。
