【立方和公式推导过程】立方和公式是数学中一个重要的代数公式，用于计算两个数的立方之和。其基本形式为：
$$ a^3 + b^3 $$
该公式在多项式因式分解、代数运算以及实际应用中都有广泛的应用。本文将详细推导立方和公式的来源，并以总结加表格的形式展示关键步骤。
一、立方和公式的基本形式
立方和公式为：
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
$$
这个公式可以用于将一个立方和表达式分解为两个因子的乘积，便于进一步的计算或简化。
二、推导过程详解
1. 展开右边的乘积
我们从右边的表达式开始：
$$
(a + b)(a^2 - ab + b^2)
$$
展开这个乘积：
$$
= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
$$
$$
= a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3
$$
2. 合并同类项
观察各项：
- $ a^3 $
- $ -a^2b + a^2b = 0 $
- $ ab^2 - ab^2 = 0 $
- $ b^3 $
最终得到：
$$
a^3 + b^3
$$
这说明：
$$
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3
$$
因此，立方和公式成立。
三、总结与对比（表格）
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 原始表达式 | $ a^3 + b^3 $ |
| 2 | 右边表达式 | $ (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ |
| 3 | 展开乘法 | $ a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) $ |
| 4 | 展开后结果 | $ a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 $ |
| 5 | 合并同类项 | $ a^3 + b^3 $ |
| 6 | 推导结论 | $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ |
四、实际应用举例
例如，若 $ a = 2 $，$ b = 1 $，则：
$$
a^3 + b^3 = 8 + 1 = 9
$$
使用公式：
$$
(2 + 1)(2^2 - 2 \times 1 + 1^2) = 3 \times (4 - 2 + 1) = 3 \times 3 = 9
$$
验证成功。
五、小结
立方和公式是代数中的一个重要工具，通过将其分解为两个因子的乘积，可以更方便地进行计算和分析。本推导过程清晰展示了从原始表达式到最终公式的完整逻辑链，并通过表格形式对关键步骤进行了归纳整理，便于理解和记忆。
