【等比数列和等差数列所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两个非常重要的数列类型。它们在数列、级数、函数等领域有着广泛的应用。为了便于理解和记忆，以下将对等差数列和等比数列的所有基本公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为首项，$ n $ 为项数 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 计算前n项的总和 |
| 中间项公式 | 若n为奇数，则中间项为 $ a_{\frac{n+1}{2}} $ | 用于求等差数列的中位数 |
二、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = n \cdot a_1 $ | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项的和收敛 |
三、等差数列与等比数列对比表
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 | ||
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 | ||
| 公差 | $ d = a_{n+1} - a_n $ | 公比 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | ||
| 无穷项和 | 不适用（除非有特殊条件） | 当 $ | r | < 1 $ 时，$ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
通过以上总结可以看出，等差数列和等比数列在结构和计算方法上各有特点，但都具有清晰的规律性和应用价值。掌握这些公式有助于在数学问题中快速找到解题思路，提高解题效率。
