【叉乘运算公式】在向量运算中，叉乘（Cross Product）是一种用于三维空间中两个向量相乘的运算方式。叉乘的结果是一个与原两向量都垂直的向量，常用于物理、工程和计算机图形学等领域，如计算力矩、旋转方向等。
叉乘的定义是：对于两个三维向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘结果为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
下面是对叉乘运算的基本公式进行总结，并以表格形式展示其组成部分和计算方式。
叉乘运算公式总结表
| 公式部分 | 表达式 | 说明 |
| 向量a | $ \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $ | 第一个向量，包含三个分量 |
| 向量b | $ \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $ | 第二个向量，包含三个分量 |
| 叉乘结果 | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ | 一个与a和b都垂直的向量 |
| x分量 | $ a_2b_3 - a_3b_2 $ | 叉乘结果的第一个分量 |
| y分量 | $ a_3b_1 - a_1b_3 $ | 叉乘结果的第二个分量（注意符号） |
| z分量 | $ a_1b_2 - a_2b_1 $ | 叉乘结果的第三个分量 |
| 矢量表示 | $ (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $ | 叉乘结果的矢量形式 |
注意事项
- 叉乘只适用于三维向量。
- 叉乘的结果向量方向由右手定则决定。
- 如果两个向量平行，则叉乘结果为零向量。
- 叉乘不满足交换律，即 $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} \neq \mathbf{b} \times \mathbf{a} $，但满足反交换律：$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $。
通过掌握这些基本公式和性质，可以更高效地应用叉乘于实际问题中，例如在计算物体旋转轴、判断平面法向量等场景中。
