在数学中，复数是一种扩展了实数范围的概念，它由实部和虚部组成，通常表示为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部，而 \( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。

当我们需要计算复数 \( z \) 的平方时，实际上就是将 \( z \) 乘以自身，即 \( z^2 = z \cdot z \)。接下来，我们详细地推导这个过程：

假设 \( z = a + bi \)，那么：

\[

z^2 = (a + bi)(a + bi)

\]

利用分配律展开：

\[

z^2 = a^2 + abi + abi + (bi)^2

\]

由于 \( i^2 = -1 \)，所以 \( (bi)^2 = b^2 \cdot i^2 = -b^2 \)。因此，上式可以简化为：

\[

z^2 = a^2 + 2abi - b^2

\]

进一步整理后，得到：

\[

z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi

\]

由此可见，复数 \( z \) 的平方仍然是一个复数，其结果由实部和虚部两部分构成。具体来说：

- 实部为 \( a^2 - b^2 \)

- 虚部为 \( 2ab \)

示例

例如，若 \( z = 3 + 4i \)，则：

\[

z^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2

\]

\[

z^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i

\]

因此，\( z^2 = -7 + 24i \)。

通过上述推导与示例，我们可以清晰地看到复数平方的计算方法。掌握这一技巧对于深入学习复数及其应用至关重要。希望本文对你有所帮助！