【期望与方差转换公式】在概率论和统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。在实际应用中，我们常常需要将一个随机变量的期望和方差进行转换，以适应不同的计算或分析需求。本文将总结常见的期望与方差转换公式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本概念
- 期望（Expected Value）：表示随机变量在大量重复试验中取值的平均结果。
- 方差（Variance）：表示随机变量与其期望之间的差异程度，即数据的离散程度。
二、期望与方差的线性变换公式
对于任意常数 $ a $ 和 $ b $，以及随机变量 $ X $，有以下关系：
| 公式 | 描述 |
| $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | 线性变换后的期望 |
| $ Var(aX + b) = a^2Var(X) $ | 线性变换后的方差 |
说明：
- 当对随机变量进行线性变换时，期望按照比例和常数进行调整；
- 方差仅受系数 $ a $ 的平方影响，常数项 $ b $ 不影响方差。
三、期望与方差的组合公式
若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个独立的随机变量，则有以下公式：
| 公式 | 描述 |
| $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ | 期望的可加性 |
| $ E(X - Y) = E(X) - E(Y) $ | 期望的减法性质 |
| $ Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) $ | 独立变量的方差可加性 |
| $ Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) $ | 独立变量的方差差值 |
注意：
- 若 $ X $ 和 $ Y $ 不独立，方差的计算需考虑协方差；
- 协方差公式为：$ Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $
四、期望与方差的非线性变换
对于非线性函数 $ g(X) $，其期望和方差无法直接用简单的公式表达，通常需要根据具体函数形式进行计算。例如：
| 函数形式 | 期望 | 方差 |
| $ g(X) = X^2 $ | $ E(X^2) $ | $ Var(X^2) = E(X^4) - [E(X^2)]^2 $ |
| $ g(X) = e^X $ | $ E(e^X) $ | $ Var(e^X) = E(e^{2X}) - [E(e^X)]^2 $ |
说明：
- 非线性变换后，期望和方差通常需要通过积分或数值方法求解；
- 可使用泰勒展开等近似方法进行估算。
五、标准正态分布的转换公式
若 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则标准化变量 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1) $，对应的期望与方差为：
| 公式 | 描述 |
| $ E(Z) = 0 $ | 标准正态分布的期望 |
| $ Var(Z) = 1 $ | 标准正态分布的方差 |
六、总结表格
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 线性变换 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | 期望的线性变换 |
| 线性变换 | $ Var(aX + b) = a^2Var(X) $ | 方差的线性变换 |
| 期望加法 | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ | 独立变量的期望可加 |
| 方差加法 | $ Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) $ | 独立变量的方差可加 |
| 非线性变换 | $ E(g(X)) $、$ Var(g(X)) $ | 需具体计算或近似 |
| 标准化 | $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ | 将正态变量标准化 |
通过以上公式和表格，我们可以更系统地理解和应用期望与方差的转换方法，从而在实际问题中灵活运用概率统计知识。
