在线性代数的学习过程中，过渡矩阵是一个非常重要的概念。它用于描述从一个基到另一个基的转换关系，是理解向量空间中不同坐标系之间变换的关键工具。掌握如何求解过渡矩阵，不仅有助于提升对线性变换的理解，还能在实际问题中发挥重要作用。

一、什么是过渡矩阵？

设 $ V $ 是一个 $ n $ 维向量空间，$ \mathcal{B} = \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \} $ 和 $ \mathcal{C} = \{ \mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \ldots, \mathbf{c}_n \} $ 是 $ V $ 中的两个基。那么，从基 $ \mathcal{B} $ 到基 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵，就是这样一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ P $，使得对于任意一个向量 $ \mathbf{v} \in V $，若其在基 $ \mathcal{B} $ 下的坐标为 $ [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} $，则在基 $ \mathcal{C} $ 下的坐标 $ [\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} $ 满足：

$$

[\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = P [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}

$$

换句话说，这个矩阵可以将一个向量在基 $ \mathcal{B} $ 下的表示转换为在基 $ \mathcal{C} $ 下的表示。

二、过渡矩阵的求法

方法一：直接构造法

如果已知基 $ \mathcal{B} $ 和基 $ \mathcal{C} $，我们可以按照以下步骤来求出从 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵：

1. 将基 $ \mathcal{B} $ 中的每个向量用基 $ \mathcal{C} $ 表示。即，对每一个 $ \mathbf{b}_i \in \mathcal{B} $，找到其在基 $ \mathcal{C} $ 下的坐标 $ [\mathbf{b}_i]_{\mathcal{C}} $。

2. 将这些坐标作为列向量，依次排列成矩阵，就得到了从 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵 $ P $。

例如，若 $ \mathbf{b}_1 = a_1 \mathbf{c}_1 + a_2 \mathbf{c}_2 + \cdots + a_n \mathbf{c}_n $，则 $ [\mathbf{b}_1]_{\mathcal{C}} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} $，以此类推。

方法二：利用标准基进行转换

如果两个基都是相对于标准基 $ \mathcal{E} $ 来说的，我们可以借助标准基来进行过渡矩阵的计算：

- 设 $ B $ 是由基 $ \mathcal{B} $ 构成的矩阵（即以 $ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n $ 为列向量），$ C $ 是由基 $ \mathcal{C} $ 构成的矩阵。

- 那么从 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵为：

$$

P = C^{-1} B

$$

这是因为：

$$

[\mathbf{v}]_{\mathcal{C}} = C^{-1} \mathbf{v} = C^{-1} B [\mathbf{v}]_{\mathcal{B}}

$$

所以，$ P = C^{-1} B $。

三、实例解析

假设在二维空间中，基 $ \mathcal{B} = \{ (1, 0), (0, 1) \} $（即标准基），而基 $ \mathcal{C} = \{ (1, 1), (1, -1) \} $。

我们想求从 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵。

首先，写出基 $ \mathcal{C} $ 对应的矩阵 $ C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $，而基 $ \mathcal{B} $ 对应的矩阵就是单位矩阵 $ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $。

因此，过渡矩阵为：

$$

P = C^{-1} B = C^{-1} I = C^{-1}

$$

计算 $ C^{-1} $：

$$

C^{-1} = \frac{1}{(1)(-1) - (1)(1)} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}

$$

所以，从 $ \mathcal{B} $ 到 $ \mathcal{C} $ 的过渡矩阵为：

$$

P = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}

$$

四、总结

过渡矩阵是连接不同基之间的桥梁，它的求解方法主要包括直接构造和通过标准基进行转换两种方式。理解并掌握这一过程，有助于我们在更复杂的线性代数问题中灵活运用不同的坐标系，从而更深入地分析向量空间的结构与变换特性。