在概率论中，泊松分布是一种重要的离散概率分布，广泛应用于描述单位时间内随机事件发生的次数等场景。例如，某小时内电话交换机接到的呼叫次数、某商店一天内接待的顾客数量等，都可以用泊松分布来建模。

泊松分布的基本公式

泊松分布的概率质量函数为：

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

其中：

- \( X \) 表示随机变量，取值为非负整数（\( k = 0, 1, 2, ... \)）。

- \( \lambda > 0 \) 是泊松分布的参数，表示单位时间或空间内的平均事件发生次数。

- \( e \approx 2.71828 \) 是自然对数的底。

泊松分布的期望

泊松分布的一个重要性质是其期望值等于参数 \( \lambda \)。也就是说，随机变量 \( X \) 的数学期望为：

\[ E(X) = \lambda \]

这表明，在泊松分布中，事件的平均发生次数就是分布的参数 \( \lambda \)。

泊松分布的方差

除了期望外，泊松分布的方差也具有一个非常简洁的表达式，即：

\[ Var(X) = \lambda \]

这意味着泊松分布的方差同样等于参数 \( \lambda \)。这一特性使得泊松分布成为一种特殊的分布，其均值和方差相等。

实际应用中的意义

泊松分布的这种特性使其在实际问题中有很高的适用性。例如，在质量控制中，当产品缺陷的数量符合泊松分布时，我们可以通过观察到的平均缺陷数来估计整体的质量水平；在保险业中，泊松分布可以用来预测一定时期内索赔事件的发生频率。

总结来说，泊松分布的期望和方差均为 \( \lambda \)，这是该分布的核心特征之一。理解和掌握这一特性对于处理涉及稀疏事件的数据分析任务至关重要。