【求导公式及法则】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式和法则，有助于快速解决数学、物理、工程等领域的相关问题。本文将对常用的求导公式与法则进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本求导公式
以下是一些常见函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（$ n \in \mathbb{R} $） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、求导法则
在处理复合函数或多个函数的运算时，需要使用一些求导法则来简化计算。以下是常见的几种法则：
1. 四则运算法则
设 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均可导，则有：
| 运算类型 | 导数公式 |
| 加法 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
2. 链式法则（复合函数求导）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
3. 反函数求导法则
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
三、特殊函数的导数
对于一些特殊的函数，如指数函数、对数函数、三角函数及其反函数，其导数具有特定的形式，已在上表中列出。此外，还有一些高阶函数，例如双曲函数，它们的导数如下：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = \sinh x $ | $ f'(x) = \cosh x $ |
| $ f(x) = \cosh x $ | $ f'(x) = \sinh x $ |
| $ f(x) = \tanh x $ | $ f'(x) = \text{sech}^2 x $ |
| $ f(x) = \coth x $ | $ f'(x) = -\text{csch}^2 x $ |
四、小结
掌握求导的基本公式与法则，是学习微积分的关键一步。通过合理运用这些规则，可以高效地处理各种复杂的函数求导问题。建议在实际应用中多加练习，以加深理解并提高解题速度。
附录：常用导数公式速查表
| 函数 | 导数 |
| 常数 | 0 |
| 幂函数 | $ nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ a^x \ln a $ 或 $ e^x $ |
| 对数函数 | $ \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ \cos x, -\sin x, \sec^2 x, -\csc^2 x $ 等 |
| 反三角函数 | 如 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $（反正弦）、$ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $（反余弦）等 |
通过不断积累与实践，求导将不再是难题，而是你手中强有力的数学工具。
