【超几何分布的期望与方差公式】在概率论中，超几何分布是一种描述在不放回抽样中成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，计算某类元素出现的次数。本文将总结超几何分布的期望与方差公式，并以表格形式清晰展示其数学表达。
一、超几何分布简介
超几何分布适用于以下情况：
- 总体中包含两种类型的个体（如合格品与不合格品）；
- 从总体中随机抽取一定数量的样本，且不放回；
- 每次抽取的结果相互影响（因为不放回）；
- 要求计算在抽取样本中某一类个体出现的次数。
设总体中有 $ N $ 个个体，其中 $ K $ 个是“成功”个体，其余为“失败”个体。从中抽取 $ n $ 个样本，设随机变量 $ X $ 表示这 $ n $ 个样本中“成功”个体的数量，则 $ X $ 服从超几何分布，记作 $ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $。
二、期望与方差公式
超几何分布的期望和方差是研究其统计特性的重要指标。以下是其数学表达式：
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 抽取样本中“成功”个体的平均数量 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 反映“成功”个体数量的波动程度 |
其中：
- $ N $：总体容量；
- $ K $：总体中“成功”个体的数量；
- $ n $：抽取的样本数量。
三、公式解释
- 期望：期望值等于样本数乘以总体中“成功”比例。这与二项分布类似，但超几何分布考虑了不放回抽样的影响。
- 方差：方差不仅依赖于样本数和成功比例，还受到有限总体的影响。最后一项 $ \frac{N - n}{N - 1} $ 称为“有限总体修正因子”，当 $ N $ 很大时，该因子接近 1，此时超几何分布近似于二项分布。
四、应用举例
假设一个工厂有 100 个产品，其中 20 个是次品。从中随机抽取 10 个产品，问次品数量的期望与方差是多少？
- $ N = 100 $, $ K = 20 $, $ n = 10 $
- 期望：$ E(X) = 10 \cdot \frac{20}{100} = 2 $
- 方差：$ \text{Var}(X) = 10 \cdot \frac{20}{100} \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right) \cdot \frac{100 - 10}{100 - 1} = 1.6 \cdot \frac{90}{99} \approx 1.47 $
五、总结
超几何分布的期望和方差是理解其统计行为的关键。通过上述公式可以快速计算出样本中“成功”个体的平均数量及其波动范围。在实际应用中，尤其是在小样本或有限总体的情况下，超几何分布比二项分布更为准确。
| 公式名称 | 数学表达 |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
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