【高数求导公式大全】在高等数学中，求导是微积分的重要组成部分，广泛应用于函数分析、物理建模、经济优化等多个领域。掌握常见的求导公式对于学习和应用微积分具有重要意义。以下是对常见高数求导公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- $ y = (x^2 + 1)^5 $，则 $ y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、四则运算的导数规则
设 $ u = u(x) $，$ v = v(x) $，则：
| 运算类型 | 导数公式 |
| 加法 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法 | $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
四、反函数的导数
若 $ y = f(x) $ 与 $ x = f^{-1}(y) $ 互为反函数，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
五、隐函数求导
若 $ F(x, y) = 0 $，则通过两边对 x 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。例如：
$$
x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
六、高阶导数
对函数连续求导，得到更高阶的导数，如：
- 二阶导数：$ y'' = (y')' $
- 三阶导数：$ y''' = (y'')' $
七、参数方程的导数
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \text{（当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 \text{）}
$$
八、常用导数表（简要汇总）
| 函数 | 导数 |
| $ \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ \text{arccot} x $ | $ -\frac{1}{1 + x^2} $ |
| $ \text{arcsec} x $ | $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ \text{arccsc} x $ | $ -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} $ |
总结
以上内容涵盖了高等数学中常见的求导公式，包括基本初等函数、复合函数、四则运算、反函数、隐函数、高阶导数、参数方程以及部分反三角函数的导数。这些公式是进行微分运算的基础工具，熟练掌握有助于提高解题效率和理解数学本质。
建议在学习过程中结合实例反复练习，逐步提升对导数的理解与应用能力。
