【标准正态分布公式】标准正态分布是统计学中最重要的一种概率分布，广泛应用于数据分析、质量控制、金融建模等多个领域。它是均值为0，标准差为1的正态分布，通常用符号 $ Z \sim N(0, 1) $ 表示。
标准正态分布的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）是其核心公式，以下是对这些公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、标准正态分布的基本概念
| 概念 | 内容 |
| 分布名称 | 标准正态分布 |
| 均值（μ） | 0 |
| 方差（σ²） | 1 |
| 标准差（σ） | 1 |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} $ |
| 累积分布函数（CDF） | $ \Phi(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt $ |
二、标准正态分布的核心公式
| 公式类型 | 公式表达 | 说明 |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} $ | 描述随机变量在某一点的概率密度 |
| 累积分布函数（CDF） | $ \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt $ | 描述随机变量小于等于某个值的概率 |
| 标准化公式 | $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ | 将任意正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ 转换为标准正态分布 |
三、标准正态分布的应用
标准正态分布在实际应用中非常广泛，常见的应用场景包括：
- 假设检验：用于判断样本数据是否符合某种假设。
- 置信区间估计：计算总体参数的可信范围。
- 风险评估：在金融领域用于衡量投资回报的风险。
- 数据标准化：将不同量纲的数据统一到同一尺度上。
四、标准正态分布的数值特征
| 特征 | 数值 |
| 均值 | 0 |
| 中位数 | 0 |
| 众数 | 0 |
| 方差 | 1 |
| 偏度 | 0（对称） |
| 峰度 | 3（比正态分布更尖峭） |
五、标准正态分布的查表方法
在实际应用中，常使用标准正态分布表来查找特定值对应的概率。例如：
| Z 值 | Φ(Z)（即 P(Z ≤ z)） |
| 0.00 | 0.5000 |
| 1.00 | 0.8413 |
| 1.96 | 0.9750 |
| 2.00 | 0.9772 |
| 2.58 | 0.9951 |
这些数值常用于构建置信区间或进行显著性检验。
总结
标准正态分布是统计学中的基础工具，其公式简洁且具有良好的数学性质。通过掌握其概率密度函数、累积分布函数以及标准化方法，可以有效应用于各种数据分析任务中。同时，利用标准正态分布表可以帮助快速查找概率值，提高分析效率。
