【流体力学公式】流体力学是研究流体（液体和气体）在静止或运动状态下的力学行为的学科。它广泛应用于工程、气象、航空航天等多个领域。为了更好地理解和应用流体力学，掌握其核心公式至关重要。以下是对流体力学中常用公式的总结，并以表格形式呈现。
一、基本概念与公式
1. 连续性方程：描述质量守恒原则，适用于不可压缩流体。
$$
\nabla \cdot \mathbf{v} = 0
$$
2. 伯努利方程：用于理想不可压缩流体的稳态流动，能量守恒。
$$
p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常数}
$$
3. 纳维-斯托克斯方程：描述粘性流体的运动，是最基本的控制方程之一。
$$
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}
$$
4. 雷诺数：判断流动状态（层流或湍流）。
$$
Re = \frac{\rho v L}{\mu}
$$
5. 达西-魏斯巴赫公式：计算管道中的沿程水头损失。
$$
h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}
$$
6. 马赫数：表示流速与声速之比，用于可压缩流体分析。
$$
M = \frac{v}{a}
$$
7. 速度势函数与流函数：用于描述无旋流动和二维不可压缩流动。
8. 压力梯度与速度关系：在无粘性流体中，压力变化由速度变化决定。
$$
\frac{\partial p}{\partial x} = -\rho \frac{\partial u}{\partial t} - \rho u \frac{\partial u}{\partial x}
$$
二、常见流体力学公式汇总表
| 公式名称 | 数学表达式 | 应用场景 |
| 连续性方程 | $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ | 不可压缩流体的质量守恒 |
| 伯努利方程 | $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常数}$ | 理想流体的稳态流动 |
| 纳维-斯托克斯方程 | $\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}$ | 黏性流体的运动控制方程 |
| 雷诺数 | $Re = \frac{\rho v L}{\mu}$ | 流动状态判断（层流/湍流） |
| 达西-魏斯巴赫公式 | $h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$ | 管道中的沿程水头损失计算 |
| 马赫数 | $M = \frac{v}{a}$ | 可压缩流体的速度与声速比较 |
| 速度势函数 | $\phi$（满足拉普拉斯方程） | 无旋流动分析 |
| 流函数 | $\psi$（满足连续性方程） | 二维不可压缩流动描述 |
三、总结
流体力学中的公式不仅是理论研究的基础，也是实际工程设计的重要工具。从简单的连续性方程到复杂的纳维-斯托克斯方程，每一条公式都反映了流体运动的本质规律。掌握这些公式并理解其物理意义，有助于更深入地分析流体行为，并为工程实践提供科学依据。
在学习过程中，建议结合实验数据和数值模拟进行验证，从而提升对流体力学的理解和应用能力。
