【arctantanx定义域】在数学中，函数 $ \arctan(\tan x) $ 是一个常见的复合函数，其定义域和值域需要特别注意。由于 $ \tan x $ 在某些点上是无定义的（如 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $），而 $ \arctan $ 函数本身则是一个周期性函数的反函数，因此我们需要仔细分析该函数的定义域。
一、函数解析
函数 $ \arctan(\tan x) $ 的结构可以理解为：先对 $ x $ 应用正切函数，再对结果应用反正切函数。然而，由于 $ \tan x $ 在 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ 处无定义，且 $ \arctan $ 的值域为 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $，因此该函数的定义域必须排除使 $ \tan x $ 无定义的点。
此外，$ \arctan(\tan x) $ 并不是恒等于 $ x $，而是具有周期性的特性。它实际上等价于将 $ x $ 映射到 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 内的一个等效角度。
二、定义域总结
| 区间 | 定义域描述 | 说明 |
| $ x \in \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) $ | 对任意整数 $ k $，该区间内的 $ x $ 均可使 $ \tan x $ 有定义 | 每个周期内，$ \tan x $ 都是连续的，且 $ \arctan(\tan x) $ 等于 $ x $ 在这个区间内的值 |
| $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ | 不属于定义域 | 此时 $ \tan x $ 无定义，因此整个表达式无意义 |
三、实际应用与注意事项
1. 周期性影响：由于 $ \tan x $ 是周期为 $ \pi $ 的函数，因此 $ \arctan(\tan x) $ 也是一个周期为 $ \pi $ 的函数。
2. 值域限制：虽然 $ \tan x $ 的值域是全体实数，但 $ \arctan(\tan x) $ 的值域始终在 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 内。
3. 避免混淆：不要将 $ \arctan(\tan x) $ 简单地视为 $ x $，特别是在 $ x $ 超出 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 的范围时。
四、结论
综上所述，函数 $ \arctan(\tan x) $ 的定义域为：
$$
x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right)
$$
即所有不包含 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ 的开区间。在这个定义域内，函数是连续且有定义的。
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