【超几何分布的期望和方差公式】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在不放回抽样中，成功次数的概率分布。它常用于样本中没有放回地抽取的情况，例如从一批产品中随机抽取若干件进行检测，计算其中合格品数量的概率。
超几何分布的基本参数包括：总体数量 $ N $、总体中成功项的数量 $ K $、抽取样本数量 $ n $，以及抽取中成功项的数量 $ X $。其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
$$
其中，$ k = \max(0, n - (N - K)), \ldots, \min(n, K) $
一、超几何分布的期望公式
超几何分布的期望值（数学期望）表示在一次试验中，成功次数的平均值。其公式为：
$$
E(X) = n \cdot \frac{K}{N}
$$
这表明，在不放回抽样中，成功次数的期望等于样本容量乘以总体中成功项的比例。
二、超几何分布的方差公式
超几何分布的方差衡量了成功次数的波动程度。其公式为：
$$
\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1}
$$
其中，$ \frac{N - n}{N - 1} $ 是有限总体校正因子，反映了不放回抽样的影响。
三、总结与对比
为了更清晰地展示超几何分布的期望和方差，以下表格对相关公式进行了整理：
| 项目 | 公式 |
| 期望 $ E(X) $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 $ \text{Var}(X) $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
四、实际应用中的理解
在实际应用中，超几何分布与二项分布有相似之处，但二者存在关键区别：
- 二项分布是有放回抽样，每次试验独立；
- 超几何分布是无放回抽样，每次试验不独立。
因此，超几何分布的方差会比二项分布小，因为无放回抽样减少了样本间的变异性。
通过理解这些公式，可以更好地在实际问题中应用超几何分布，如质量控制、抽样调查、生物统计等领域。
