【分层抽样的计算公式】在统计学中，分层抽样是一种将总体划分为若干个互不重叠的子群体（称为“层”），然后从每一层中独立抽取样本的方法。这种方法可以提高样本的代表性，减少抽样误差，尤其适用于总体内部差异较大的情况。
以下是分层抽样的基本计算公式和相关概念总结：
一、分层抽样的基本概念
| 概念 | 含义 |
| 总体 | 研究对象的全部个体 |
| 层 | 将总体按某种特征划分的子群体 |
| 样本 | 从各层中抽取的部分个体 |
| 分层抽样 | 按照分层结构进行抽样的方法 |
二、分层抽样的计算公式
1. 每层样本量的确定（比例分配）
若采用比例分配法，即每层样本数量与其在总体中的比例一致：
$$
n_h = \frac{N_h}{N} \times n
$$
其中：
- $n_h$：第 $h$ 层的样本量
- $N_h$：第 $h$ 层的总体单位数
- $N$：总体单位总数
- $n$：总样本量
2. 每层样本量的确定（等量分配）
若采用等量分配法，即每层抽取相同数量的样本：
$$
n_h = \frac{n}{L}
$$
其中：
- $L$：分层的层数
3. 分层抽样均值估计公式
总体均值的无偏估计为：
$$
\bar{y}_{str} = \sum_{h=1}^{L} \left( \frac{N_h}{N} \cdot \bar{y}_h \right)
$$
其中：
- $\bar{y}_h$：第 $h$ 层的样本均值
4. 分层抽样方差估计公式
总体均值的方差估计为：
$$
V(\bar{y}_{str}) = \sum_{h=1}^{L} \left( \frac{N_h}{N} \right)^2 \cdot \left( \frac{N_h - n_h}{N_h} \cdot \frac{s_h^2}{n_h} \right)
$$
其中：
- $s_h^2$：第 $h$ 层的样本方差
三、分层抽样的优缺点
| 优点 | 缺点 |
| 提高样本代表性 | 需要明确的分层标准 |
| 减少抽样误差 | 抽样设计较复杂 |
| 可对各层单独分析 | 数据处理成本较高 |
四、实际应用举例
假设某学校有三个年级（层）：高一、高二、高三，学生人数分别为 500、600、900，共 2000 人。现要从中抽取 200 名学生进行调查。
- 比例分配法：
- 高一：$ \frac{500}{2000} \times 200 = 50 $
- 高二：$ \frac{600}{2000} \times 200 = 60 $
- 高三：$ \frac{900}{2000} \times 200 = 90 $
- 等量分配法：
- 每层抽取 $ \frac{200}{3} \approx 67 $ 人
五、总结
分层抽样是一种有效的抽样方法，能够提高样本的代表性和精度。其核心在于合理划分层次，并根据研究目的选择合适的样本分配方式。掌握分层抽样的计算公式有助于在实际研究中科学地设计和实施抽样方案。
